Mapas de Karnaugh

Metodología

Vamos a indicar cada uno de los pasos para obtener la expresión MSP (mínima suma de productos). Para ello vamos a ilustrarlo con el ejemplo:

F(x, y, z) = x’ y’ z’ + x’ y’ z + x’ y z’+ x y’ z’+ x y z’

Los pasos a seguir para conseguir reducir esta expresión  son:

1.  Convertir la expresión a una suma de productos si es necesario. Esto se puede realizar de varias maneras:

§ Algebraicamente.

§ Construyendo una tabla de verdad, trasladando los valores al mapa de Karnaugh. Esta es la forma que vamos a utilizar.

X	Y	Z	Resultado
0	0	0	1
0	0	1	1
0	1	0	1
0	1	1	0
1	0	0	1
1	0	1	0
1	1	0	1
1	1	1	0

                 

        

2.  Cubrir todos los unos del mapa mediante rectángulos de 2^N elementos, donde N = 0 ... número de variables. Ninguno de esos rectángulos debe contener ningún cero (tal y como indicábamos en el apartado anterior).

§ Para minimizar el número de términos resultantes se hará el mínimo número posible de rectángulos que cubran todos los unos.

§ Para minimizar el número de variables se hará cada rectángulo tan grande como sea posible.

Véase que en este caso se ha unido la columna izquierda con la derecha para formar un único rectángulo.

3. Encontrar la MSP (suma de productos minimal). Ojo porque podemos encontrarnos con que puede haber más de una MSP.

§ Cada rectángulo pertenece a un término producto.

§ Cada término se define encontrando las variables que hay en común en tal rectángulo.

En nuestro ejemplo tenemos F(X, Y, Z) = Z’ + X’Y’ nótese que las variables resultado son las que tienen un valor común en cada rectángulo.

          

Rectángulos y productos.

Cada rectángulo representa un término. El tamaño del rectángulo y el del término resultante son inversamente, es decir que, cuanto más largo sea el rectángulo menor será el tamaño del término final.

En general, si tenemos una función con n variables :

§ Un rectángulo que ocupa una celda equivale a un término con  n variables.

§ Un rectángulo que ocupa dos celdas equivale a un término con  n-1 variables.

§ Un rectángulo que ocupa 2ⁿ  celdas equivale al término de valor 1.

Por lo tanto,  para encontrar el MSP se debe:

§ Minimizar el número de rectángulos que se hacen en el mapa de Karnaugh, para minimizar el número de términos resultantes.

§ Maximizar el tamaño de cada rectángulo, para minimizar el número de variables de cada término resultante.

Agrupación de rectángulos.

Cuando tenemos distintas posibilidades de agrupar rectángulos hay que seguir ciertos criterios:

1. Localiza todos los rectángulos más grandes posibles, agrupando todos los unos. Estos se llamarán  implicantes primos.
2. Si alguno de los rectángulos anteriores contiene algún uno que no aparece en ningún otro rectángulo entonces es un implicante primo esencial.Éstos han de aparecer en el resultado final de manera obligatoria.

El resto de implicantes primos se podrán combinar para obtener distintas soluciones.

Véase este ejemplo que ilustra lo que les planteamos. Aquí los implicantes primos son cada uno de los diferentes rectángulos obtenidos. Los primos implicantes esenciales son el rectángulo rojo y el verde, por contener unos que no son cubiertos por otros rectángulos. Así todas las posibles soluciones han de contener estos dos implicantes.

Solución: F( X, Y, Z, T ) = X’Y’ + XYT’ + XZT