Problema del viajante

El problema del vendedor viajero, problema del vendedor ambulante, problema del agente viajero o problema del viajante (TSP por sus siglas en inglés (Travelling Salesman Problem)), responde a la siguiente pregunta: dada una lista de ciudades y las distancias entre cada par de ellas, ¿cuál es la ruta más corta posible que visita cada ciudad exactamente una vez y al finalizar regresa a la ciudad origen? Este es un problema NP-Hard dentro en la optimización combinatoria, muy importante en la investigación de operaciones y en la ciencia de la computación.

El problema fue formulado por primera vez en 1930 y es uno de los problemas de optimización más estudiados. Es usado como prueba para muchos métodos de optimización. Aunque el problema es computacionalmente complejo, una gran cantidad de heurísticas y métodos exactos son conocidos, de manera que, algunas instancias desde cien hasta miles de ciudades pueden ser resueltas.

El TSP tiene diversas aplicaciones aún en su formulación más simple, tales como: la planificación, la logística y en la fabricación de circuitos electrónicos. Un poco modificado, aparece como: un sub-problema en muchas áreas, como en la secuencia de ADN. En esta aplicación, el concepto de “ciudad” representa, por ejemplo: clientes, puntos de soldadura o fragmentos de ADN y el concepto de “distancia” representa el tiempo de viaje o costo, o una medida de similitud entre los fragmentos de ADN. En muchas aplicaciones, restricciones adicionales como el límite de recurso o las ventanas de tiempo hacen el problema considerablemente difícil. El TSP es un caso especial de los Problemas del Comprador Viajante (travelling purchaser problem).

En la teoría de la complejidad computacional, la versión de decisión del TSP (donde, dado un largo “L”, la tarea es decidir cuál grafo tiene un camino menor que L) pertenece a la clase de los problemas NP-completos. Por tanto, es probable que en el caso peor el tiempo de ejecución para cualquier algoritmo que resuelva el TSP aumente de forma exponencial con respecto al número de ciudades.

Denotamos por “Problema del Mensajero” (dado que en la práctica esta pregunta puede resolverse por cada cartero, aunque puede ser resuelta por varios viajeros) la pregunta es encontrar, para un conjunto finito de puntos de los cuales se conocen las distancias entre cada par, el camino más corto entre estos puntos. Por supuesto, el problema es resuelto por un conjunto finito de intentos. La regla que se debe seguir es que desde el punto inicial se va al punto más cercano a este, de ahí a su más cercano y así sucesivamente, en general este algoritmo no retorna la ruta más corta

Caso práctico

En el problema se presentan N! rutas posibles, aunque se puede simplificar ya que dada una ruta nos da igual el punto de partida y esto reduce el número de rutas a examinar en un factor N quedando (N-1)!. Como no importa la dirección en que se desplace el viajante, el número de rutas a examinar se reduce nuevamente en un factor 2. Por lo tanto, hay que considerar (N-1)!/2 rutas posibles.

En la práctica, para un problema del viajante con 5 ciudades hay (5-1)!/2=12 rutas diferentes y no necesitamos un ordenador para encontrar la mejor ruta, pero apenas aumentamos el número de ciudades las posibilidades crece factorialmente:

• Para 10 ciudades hay (10-1)!/2=181.440 rutas diferentes
• Para 30 ciudades hay más de 4·10^30 rutas posibles. Un ordenador que calcule un millón de rutas por segundo necesitaría 10^17 años para resolverlo. Dicho de otra forma, si se hubiera comenzado a calcular al comienzo de la creación del universo (hace unos 13.400 millones de años) todavía no se habría terminado.

Puede comprobarse que por cada ciudad nueva que incorporemos, el número de rutas se multiplica por el factor N y crece factorialmente. Por ello el problema pertenece a la clase de problemas NP-completos.

Como un problema de grafos

TSP simétrico con 4 ciudades

El TSP puede ser modelado como un grafo ponderado no dirigido, de manera que las ciudades sean los vértices del grafo, los caminos son las aristas y las distancias de los caminos son los pesos de las aristas. Esto es un problema de minimización que comienza y termina en un vértice específico y se visita el resto de los vértices exactamente una vez. Con frecuencia, el modelo es un grafo completo (cada par de vértices es conectado por una arista). Si no existe camino entre un par de ciudades, se añade arbitrariamente una arista larga para completar el grafo sin afectar el recorrido óptimo.

Asimétrico y simétrico

En el ‘’’TSP simétrico’’’, la distancia entre un par de ciudades es la misma en cada dirección opuesta, formando un grafo no dirigido. Este problema reduce a la mitad el número de soluciones posibles. En el ‘’’TSP asimétrico’’’, pueden no existir caminos en ambas direcciones o las distancias pueden ser diferentes, formando un grafo dirigido. Los accidentes de tráfico, las calles de un solo sentido y las tarifas aéreas para ciudades con diferentes costos de partida y arribo, son ejemplos de cómo esta simetría puede ser quebrada.

Problemas relacionados

• Una formulación equivalente en términos de Teoría de grafos es: dado una grafo ponderado completo (donde los vértices representan las ciudades, las aristas representan los caminos y los pesos son el costo o las distancias de estos caminos), encontrar un ciclo de Hamilton con menor peso.

• Las restricciones de retorno a la ciudad de comienzo no cambia la complejidad computacional del problema, vea Problema del camino Hamiltoniano.

• Otro problema relacionado es el Problema del agente viajero con cuello de botella (bottleneck TSP): Encontrar un ciclo de Hamilton en un grafo ponderado con el mínimo peso de las aristas más pesadas. El problema es de una considerable importancia en la práctica, en las áreas de la transportación y la logística. Un ejemplo clásico es en la fabricación de circuitos impresos: planificando una ruta de la máquina perforadora para perforar los huecos en un PCB. Otras son, las aplicaciones de perforado o maquinado en la robótica: las “ciudades” son los huecos de diferentes tamaños a perforar y el “costo de viaje” incluye el tiempo para reequipar el robot (problema del secuenciado del trabajo de una máquina simple).⁶​

• La generalización del TSP trata con “estados” que tienen (una o más) “ciudades” y el viajante tiene que visitar exactamente una ciudad de cada “estado”. También se conoce como el Problema del Político Viajero. Como una aplicación se considera, el perforado en la fabricación de semiconductores, vea e.g., Patente USPTO nº 7054798. Sorprendentemente, Behzad y Modarres demostraron que el problema generalizado del viajante puede ser transformado en el problema del viajante estándar con el mismo número de ciudades, pero modificando la Matriz de distancias

• El problema de ordenamiento secuencial trata con el problema de visitar un conjunto de ciudades donde se tiene en cuenta las relaciones de precedencias entre las ciudades.

• El problema del viajante comprador trata con un comprador que está cargado con un conjunto de productos. Él puede comprar estos productos en varias ciudades, pero tienen diferentes precios y no todas las ciudades ofrecen los mismos productos. El objetivo es encontrar una ruta entre un subconjunto de ciudades, los cuales minimicen el costo total (costo de viaje + costo de la compra) y habilite la compra de todos los productos requeridos.

Formulación de la programación lineal en enteros

El TSP puede ser formulado por la programación lineal en enteros.​ Sea ${\displaystyle x_{ij}}$ igual 1, si existe el camino de ir de la i a la ciudad j, y 0 en otro caso, para el conjunto de ciudades 0,..., n. Sean ${\displaystyle u_{i}}$ para i = 1,..., n variables artificiales y sea ${\displaystyle c_{ij}}$ la distancia desde la ciudad i a la ciudad j. Entonces el modelo de programación lineal en enteros puede ser escrito como:

${\displaystyle {\begin{aligned}\min &\sum _{i=0}^{n}\sum _{j\neq i,j=0}^{n}c_{ij}x_{ij}&\\0\leq &x_{ij}\leq 1&i,j=0,\dots n\\&x_{ij}{\text{ integer}}&i,j=0,\dots n\\&\sum _{i=0,i\neq j}^{n}x_{ij}=1&j=0,\ldots ,n\\&\sum _{j=0,j\neq i}^{n}x_{ij}=1&i=0,\ldots ,n\\u_{i}-u_{j}&+nx_{ij}\leq n-1&1\leq i\neq j\leq n.\end{aligned}}}$

El primer conjunto de igualdades asegura que cada ciudad 0,..., n de salida llegue exactamente a una ciudad, y el segundo conjunto de igualdades aseguran que desde cada ciudad 1,..., n se salga exactamente hacia una ciudad (ambas restricciones también implican que exista exactamente una salida desde la ciudad 0.) La última restricción obliga a que un solo camino cubra todas las ciudades y no dos o más caminos disjuntos cubran conjuntamente todas las ciudades. Para probar esto se muestra en (1) que toda solución factible contiene solamente una secuencia cerrada de ciudades, y en (2) que para cada uno de los recorridos que cubren todas las ciudades, hay valores para todas las variables ${\displaystyle u_{i}}$ que satisfacen las restricciones.

Para probar que cada solución factible contiene solamente una secuencia cerrada de ciudades, es suficiente mostrar que cada sub-ruta en una solución factible pasa a través de la ciudad 0 (note que las igualdades aseguran que solamente pude haber un recorrido de ese tipo). Por tanto, si sumamos todas las desigualdades correspondiente a ${\displaystyle x_{ij}=1}$ para cada sub-ruta de k pasos que no pasan a través de la ciudad 0, obtenemos ${\displaystyle nk\leq (n-1)k,}$ lo cual es una contradicción.

Ahora, mostramos que para cada recorrido que cubre todas las ciudades, hay valores de las variables ${\displaystyle u_{i}}$ que satisfacen las restricciones.

Sin pérdida de generalidad, se define el recorrido con origen y fin en la ciudad 0. Escoger  si la ciudad i es visitada en el paso t (i, t = 1, 2,..., n). Entonces dado  no puede ser mayor que n y  no puede ser menor que 1; por lo tanto las restricciones se satisfacen siempre que  Para  se satisfacen las restricciones.